Publications  HET - History of Economic Thoughts
WASSILLY LEONTIEF
Na práci Walrasovu navazuje ve svých modelech Wassilly Leontief. Leontiefovy modely jsou dnes dobře známy. Platí to však více o jeho statickém otevřeném modelu než o původním modelu uzavřeném nebo pozdějším dynamickém. Soustava rovnic Leontiefova statického otevřeného modelu je obsahově chudší než Walrasův model. Neobsahuje ani poptávkové funkce po hotových výrobcích, ani nabídkové funkce výrobních faktorů. U Leontiefa jsou pouze výrobky, které slouží zčásti zpět ve výrobě jako výrobní prostředky (meziprodukt), zčásti jako tzv. konečný produkt k osobní spotřebě, společenské spotřebě a investicím. Rovnice modelu vyjadřují prostřednictvím technologicky daných technických koeficientů funkční vztah mezi celkovou produkcí jednotlivých odvětví (výrobků) a tzv. konečnou produkcí, která je tvořena osobní a společenskou spotřebou a investicemi. Existuje také druhá soustava rovnic pro ceny, ta je však samostatná. Rovnice pro množství se řeší zvláště a rovnice pro ceny také zvlášť, i když v obojích se vyskytují tytéž technické koeficienty. V Leontiefově modelu může k téže naturální struktuře ekonomiky existovat řada různých cenových struktur v závislosti na podmínkách rozdělování. To se nemůže stát v modelu Walrasově. 
Jestliže říkáme, že Leontiefův model je co do obsahu zachycených vztahů chudší než Walrasův, je naopak Leontiefův model vhodnější pro praktické aplikace než Walrasův. Pro Walrase měly matematické formulace charakter čistě logicky deduktivního nástroje teoretického rozboru. Naproti tomu, Leontiefův model je budován již od samého počátku jako model ekonometrický, jde mu tedy o kvantitativní analýzu konkrétního stavu v konkrétní ekonomice. Proto je vedle formulace matematického modelu důležitou součástí Leontiefovy metody sestavení šachovnicové národohospodářské bilance (tzv. tabulky meziodvětvových vztahů) za určitý rok na podkladě údajů ekonomické statistiky. Tento praktickoempirický aspekt Leontiefových prací je vidět i z toho, že podstatnou část jeho knih zabírají metodické pokyny pro postup při sestavování bilancí, pro volbu klasifikace odvětví, přesné vymezení používaných kategorií (přidané hodnoty, národního důchodu atd.) a konečně i vlastní konkrétní sestavení tabulek a propočty s tím spojené. A právě v tomto směru navazuje práce Leontiefa spíše než na Walrase na metodiku sestavování šachovnicové bilance SSSR za léta 1923-24, s kterou se seznámil v době, kdy ještě pobýval v SSSR. Schéma této bilance je do jisté míry podobné tabulkám meziodvětvových vztahů, jež jsou součástí Leontiefovy metody. 
Hovoříme-li zde o strukturálních modelech v souvislosti s teoriemi růstu, je třeba poznamenat, že právě tímto svým ekonometrickým charakterem se Leontiefova metoda liší od postupu většiny jiných teoretiků růstu a přibližuje se spíše pracím Personse, Mitchela a dnes Kuznetse. To se ovšem netýká všech strukturálních modelů, existují i čisté matematicko-ekonomické strukturální modely, avšak Leontiefovy práce se vyznačují tím, že nehovoří jen jazykem „co by bylo, kdyby bylo”, ale ukazují, jaký byl skutečný stav např. v USA 1919, 1929, 1939 a k jakým skutečným změnám během vývoje docházelo. 
První Leontiefem sestavený model byl tzv. uzavřený statický model, jehož pomocí prováděl analýzu struktury ekonomiky USA za léta 1919 a 1929.2) Uzavřený model neobsahuje žádný auto­nomní vstup ani výstup, všechny proměnné jsou plně provázány zpětnými vazbami. Každý výrobek vystupuje jednak jako produkt některého z odvětví, jednak jako náklad spotřebovaný na výrobu v jiných odvětvích. To platí i o osobní spotřebě, která v modelu vystupuje jako „náklad” zvláštního odvětví „domácnosti”, jehož produkcí jsou výrobní a nevýrobní služby poskytované obyvatelstvem. V modelu se předpokládá, že dodávky jednotlivých výrobků do určitého odvětví, v němž slouží jako náklad na výrobu jsou přímo úměrné rozsahu produkce tohoto odvětví. Koeficienty úměrnosti mají jasný ekonomický smysl, představují normy výrobní — u odvětví „domácnosti” osobní — spotřeby na jednotku produkce. 
Takto pojatý model zobrazuje strukturu ekonomiky v určitém roce, je proto statický. Leontiefovi však již od počátku šlo o více než jen o zachycení statického stavu. Snažil se proto již v prvé variantě nějakým způsobem model dynamizovat, aby jeho pomocí mohl zkoumat, jak se struktura ekonomiky bude měnit při změně určitých parametrů. 
Především vychází z toho, že technické koeficienty (normy spotřeby) nemohou být během vývoje neměnné. V důsledku technického rozvoje dochází k jejich změnám; normy spotřeby některých výrobních prostředků se snižují, jiných rostou. Tyto změny se pokouší v uzavřeném modelu zachytit tak, že zavádí tzv. koeficienty produktivity, kterými dělí technické koeficienty. Kromě toho rozšiřuje základní model o problém investic a úspor. Dříve předpokládal, že v každém odvětví se celkové výdaje přesně rovnají celkovým příjmům. Nyní zavádí tzv. koeficienty úspor, kterými dělí celkovou hodnotu produkce každého odvětví. Jestliže je pří-slušný koeficient úspor větší než jedna, pak odvětví vykazuje pozitivní úspory, je-li menší než jedna, jsou úspory negativní, což znamená, že z jiných odvětví se investuje do tohoto odvětví. Dále pak matematicky analyzuje, jak se změny produktivity a úspor, které jsou vyjádřeny příslušnými koeficienty produktivity a úspor, promítnou do vzájemných relací mezi produkcí jednotlivých odvětví a mezi cenami. 
Tato cesta, kterou postupuje v prvé variantě svého modelu, však Text Box:  
není zrovna nejvhodnější a nevede také ke skutečně dynamickému modelu, na kterém by bylo možno studovat zákonitosti tempa růstu. 
V druhém vydání rozšířil Leontief svou prvou knihu o rozbor meziodvětvových vztahů v hospodářství USA za rok 1939. Přitom však opustil původní uzavřený model a přešel k tzv. otevřenému statickému modelu. V tomto modelu není již zahrnuto odvětví „domácnosti”. Práce — čili služby poskytované obyvatelstvem — vystupují jako vstup modelu a konečná produkce (osobní a společenská spotřeba a investice) jako výstup. 
Když zdůvodňuje přechod k otevřenému modelu, poukazuje Leontief zejména na to, že je tento model užitečnější z hlediska aktivní hospodářské politiky. Je zde jasná souvislost s rozvíjející se keynesovskou teorií aktivní hospodářské role státu. Další vývoj ukázal, že otevřený model může také být vhodným nástrojem pro plánování výroby za socialismu. 
Možnost aktivního využití otevřeného modelu spočívá v tom, že v něm existují jisté stupně volnosti. V uzavřeném modelu byly všechny proměnné tak vzájemně propojeny, že jeho řešení dávalo jednoznačné výsledky. Tento model mohl tedy popisovat jen daný stav. V otevřeném modelu je možno analyzovat nejen existu­jící stav, ale jsou-li dány technické koeficienty, lze rovněž vypočítat rozsah celkové produkce jednotlivých odvětví k libovolné zadané velikosti a struktuře konečné produkce. Jinak řečeno, model může sloužit k zjištění toho, jaká změna v celkové produkci jednotlivých odvětví nastane, změní-li se poptávka po konečných produktech. Souvislost s teoretickou analýzou účinků změn v efektivní poptávce je zde zřejmá. Leontief sám píše: ,,Je nutné interpretovat národní hospodářství spíše jako otevřený, než uzavřený systém . . . v otevřeném modelu je možné „fixovat” jistý počet proměnných libovolně, zatímco ostatní budou vyplývat z nutnosti neporušit strukturální vztahy. Obecná logika tohoto postupu je v podstatě totožná s tou, která vyplývá v poněkud méně přesné formě z různých modelů keynesovské analýzy multiplikátoru."3) 
Tato Leontiefova zmínka o multiplikátoru není náhodná. Existuje skutečně určitá zásadní shoda mezi Keynesovou koncepcí multiplikátoru a Leontiefovým otevřeným modelem. Tato shoda ovšem nejde do všech podrobností a v určitých rysech je mezi těmito dvěma modely značný rozdíl. Nicméně nebude na škodu provést paralelní srovnání obou modelů. Ukážeme přitom, že vztahy otevřeného statického modelu hrají v dynamické struktuText Box:  
rální teorii růstu přibližně stejnou roli jako multiplikátor v agregátních modelech růstu. 
Pro názornost odvodíme vedle sebe rovnice multiplikátoru a rovnice Leontiefova, uzavřeného modelu. Abychom věc zjednodušili a usnadnili srovnání, budeme při odvozování multiplikátoru předpokládat konstantnost sklonu ke spotřebě. Používáme obvyklé symboliky, přičemž u multiplikátoru jde o čísla, kdežto v leontiefovském modelu o vektory a matice. 
 
Multiplikátor
 
Leontiefův model
 
Základní rovnice:

Národní důchod (konečný produkt) je roven součtu spotřeby a investic 

Y = C + I
 

Základní bilanční rovnice:

Celková produkce se rovná součtu meziproduktu a konečného produktu

X = M + y

Spotřební funkce:

Spotřeba je úměrná důchodu podle sklonu ke spotřebě

 

C = cY
 

Nákladová funkce:

Meziprodukt je úměrný celkové podukci a získáme jej vynásobením vektoru celkové produkce maticí technických koeficientů

M = AX

Výsledek

Odvození závislosti národního důchodu na investicích4)

      Y = (1 - c)-1I
 

Výsledek

Odvození závislosti celkové produkce na konečné produkci

X = (I - A)-1 y

Podobnost matematických vztahů může být až zarážející. Avšak je to přirozené, uvědomíme-li si, že matematické vztahy v tomto případě zachycují prostě systémy se zpětnými vazbami. Rozdíl je pouze v tom, že v multiplikátoru je pouze jedna zpětná vazba, v leontiefském modelu celá řada. Proto jednou je zesilovací koeficient zpětné vazby vyjádřen číslem (multiplikační koeficient), podruhé celou maticí (matice koeficientů komplexní spotřeby). 
Přes všechnu podobnost je ovšem přece jen vidět, že vztahy vyjadřují poněkud jiné souvislosti. V multiplikátoru je vyjádřena závislost národního důchodu (konečná produkce) na investicích, v leontiefském modelu závislost celkové produkce na konečné produkci. V tom je také rozdíl; je známo, že v keynesovských modelech se operuje pouze růstem národního důchodu, meziprodukt do nich vůbec nevstupuje. V leontiefském modelu se vyskytuje celková produkce, která je blízká našemu pojetí společenského produktu a zahrnuje také meziprodukt. 
Podívejme se nyní blíže na možné interpretace uvedených rovnic. Rovnice obou modelů je možno kauzálně interpretovat dvojím způsobem. Tzv. klasická interpretace je celkem triviální. V agregátním modelu: je-li dán národní důchod a sklon ke spotře­bě, plyne z toho, kolik zůstane na investice. Ve strukturálním modelu: je-li dána celková produkce a matice technických koeficientů, plyne z toho, kolik zůstává pro konečnou spotřebu. Keynesovská interpretace vycházející z úlohy efektivní poptávky v soudobém kapitalismu kauzální vztahy obrací. V agregátním modelu: objem investic a sklon ke spotřebě určuje úroveň národního důchodu. Ve strukturálním modelu: poptávka po konečném produktu a matice technických koeficientů určuje poptávku po celkové produkci. Poptávka po celkové produkci je větší než poptávka po konečném produktu. Toto zesílení poptávky je vyjádřeno právě koeficienty komplexní spotřeby.
Koeficienty komplexní spotřeby tedy kvantitativně zachycují jistý druh multiplikačního procesu, probíhajícího v národním hospodářství, jímž se zesiluje efektivní poptávka. Je to multiplikační proces poněkud jiný, ale koncepčně není v rozporu s pojetím investičního násobitele. Lze ho popsat takto. Dejme tomu, že vznikne dodatečná poptávka po textilu. Aby mohl být tento textil vyroben, musí být do textilních továren dodáno více uhlí, elektřiny, vlny, bavlny atd. Tedy dodatečná poptávka po textilu generuje poptávku po celé škále různých meziproduktů. Tím však proces nekončí. K tomu, aby v dolech (elektrárnách, zemědělství atd.) se mohlo vyrobit více uhlí (elektřiny, vlny atd.) pro zvýšení výroby textilu, je nutno do těchto odvětví dodat také více výrobních prostředků (uhlí, elektřiny, atd.) mezi nimi také textilu. Tak také celková vyvolaná poptávka po textilu bude větší než původní dodatečná poptávka. Celý proces postupuje takto dále. Koeficienty komplexní spotřeby vyjadřují stav, ke kterému se dospěje po úplném ,vyčerpání" tohoto multiplikačního procesu. Podobnost i rozdíl proti Keynesovu multiplikátoru je zde zjevná. Zde je zachycen v celé strukturální bohatosti proces násobení poptávky po meziproduktech, který u Keynese nemůže být vůbec zachycen, protože ze svých vztahů meziprodukt vylučuje. V tomto smyslu je to vlastně jisté rozšíření, či prodloužení Keynesova multiplikátoru. Na druhé straně není zde vůbec zachycena jedna velmi podstatná věc, která je osou Keynesova multiplikačního procesu.
Totiž to, že dodatečná poptávka vedoucí k zvýšení výroby vyvolává zvýšení zaměstnanosti, důchodů a při daném sklonu ke spotřebě k zesilování poptávky po spotřebních předmětech. Toto zesilování poptávky po spotřebních předmětech v Leontiefově statickém otevřeném modelu není. Poptávka po celém konečném produktu je v něm prostě považována za daný exogenní vstup. O to je tento model chudší.
Ve strukturálním modelu je ovšem možno zachytit oboje. V tom případě je však nutno otevřený leontiefovský model rozšířit o zpětnou vazbu: celková výroba — zaměstnanost důchody - utváření poptávky po konečné produkci.. Tím se otevřený model znovu uzavírá, avšak poněkud jiným způsobem než v původní Leontiefově variantě. Aby uvedené vztahy byly reálné, musí být vyjádřeny pomocí koeficientů pracnosti produkce, mzdových sazeb a koeficientů pružnosti poptávky. Takovéto uzavření modelu provedl například Ragnar Frisch ve svém „modelu Oslo”. Strukturální model pak zachycuje již poměrně reálně násobení poptávky po meziproduktech i spotřebních předmětech a zároveň i multiplikátor zaměstnanosti. Na druhé straně: agregátní modely mohou zachycovat násobení poptávky po meziproduktech, bude-li se v nich operovat s celkovou a nikoliv konečnou produkcí.
Strukturální model ovšem ukazuje proti Keynesovi jednu zajimavou okolnost. Z keynesovské teorie totiž plyne, že dodatečné zvýšení poptávky vyvolá vždy určitý přírůstek národního důchodu a zaměstnanosti. Protože multiplikátor je zde jen jedno číslo, je lhostejno na jaké výrobky byla tato dodatečná poptávka zaměřena a jak se tyto výrobky užívaly. Z hlediska leontiefovského statického modelu je to poněkud jinak. Zůstává sice stále lhostejno, jaké bude užití zkoumáme totiž pouze poptávkotvorný účinek konečné spotřeby a v modelu vůbec není zachyceno co se s ní dále děje — avšak přestává být lhostejno, po kterých výrobcích dodatečná poptávka vzniká. Koeficienty komplexní spotřeby jsou různé, proto dodatečná poptávka ve výši např. 1 mil. dolarů vyvolá jiný přírůstek celkové produkce a zaměstnanosti, bude-li vržena např. na automobily místo na textilní výrobky. Tento fakt je velmi významný pro hospodářskou politiku státu v soudobém kapitalismu. Sám Leontief na něj upozorňoval zejména v souvislosti s možnými důsledky odzbrojení. Pomocí tabulky za rok 1959 propočítal perspektivní důsledky přesunu státní poptávky ze zbrojního průmyslu na jiná odvětví.5)
Všimněme si ještě jedné důležité okolnosti, v které existuje shoda mezi Keynesovým modelem multiplikátoru a otevřeným statickým modelem Leontiefovým. Máme zde ovšem na mysli tu Leontiefovu interpretaci, o které jsme dosud hovořili. Totiž v modelu multiplikátoru vystupují investice jen jako poptávkotvorný činitel a nebere se v úvahu jejich produkční funkce. Rovněž ve zkoumaném strukturálním modelu figurují investice pouze jako součást konečné poptávky, a je tedy sledován jen jejich poptávkotvorný efekt. V prvém ani v druhém modelu není zachycen proces investování, který vede k přírůstku výrobních kapacit společnosti. Proto při odvozování velikosti národního důchodu, investic, nebo celkové produkce z konečné spotřeby se musí předpokládat, že ve společnosti existuje dostatek výrobních kapacit, aby mohla být příslušná produkce vyrobena. Tato okolnost je velmi významná, neboť ukazuje statický charakter obou modelů. Jen z poměrně krátkodobého hlediska je možno předpokládat dostatek výrobních kapacit. Z dlouhodobého hlediska je nezbytné do modelu zabudovat podmínky zajišťující rovnováhu mezi přírůstkem poptávky a přírůstkem výrobních kapacit. Pro agregátní modely tuto okolnost výrazně zdůraznil E. D. Domar. Ve strukturálních modelech je situace o to obtížnější, že je rovnováhu mezi poptávkou a kapacitami třeba zajistit v celé škále odvětvového členění. Investiční proces se zde stává mnohonásobně složitější.
V modelech růstu Harrodova-Domarova typu jde pouze o to najít takové tempo růstu, při němž je přírůstek efektivní poptávky vyvolaný investicemi roven právě přírůstku kapacit, jež jsou těmito investicemi zajištěny. Ve strukturálních modelech růstu je třeba dosáhnout navíc vybilancovanosti investic podle odvětví původu a odvětví určení. To znamená asi tolik: abychom mohli zvýšit výrobní kapacity v těžbě uhlí, výrobě elektrické energie atd., musíme mít jistou přesně určenou strukturu dodávek investičních statků z odvětví, které investiční statky vyrábějí, do odvětví, v nichž se investice umísťují. Přitom však je struktura investic (podle původu) v každém odvětví jiná. Investice do jednotlivých odvětví tedy generují různým způsobem přírůstek objemu celkové poptávky v jednotlivých odvětvích. Zároveň však je nutné, aby byly investice do odvětví rozmístěny tak, aby vedly právě k takovým přírůstkům výrobních kapacit, které pokryjí přírůstek celkové poptávky vyvolaný investicemi a osobní a společenskou spotřebou. Nehledíme-li na větší složitost, je logika strukturálního dynamického modelu v podstatě shodná s logikou agregátních modelů multiplikátoru — akcelerátoru. Ke statickému otevřenému modelu musí být připojeny smyčky zpětných vazeb, zachycující strukturální závislosti investičního procesu. Je to vlastně strukturální akcelerátor. Místo jednoho investičního koeficientu se v něm vyskytuje celá matice investičních koeficientů. Jednotlivé koeficienty této matice pak vyjadřují množství investičních statků, jež je třeba dodat z jednotlivých odvětví do určitého odvětví, aby se v něm vytvořily kapacity nutné k zajištění jednotkového přírůstku výroby.
Strukturální dynamický model založený na těchto myšlenkách matematicky zpracoval Leontief ve své druhé knize "Studies in the Structure of American Economy."6) Obdobný model v jistém smyslu velmi zajímavě rozvinutý, najdeme také v knize Oskara Langeho ,,Teoria reprodukcji i akumulacji."7)
Srovnáme zde opět tento dynamický strukturální model s agregátním dynamickým modelem růstu, založeným na principu multiplikátoru -- akcelerátoru. Proti předcházejícímu výkladu provedeme malé změny ve výchozích předpokladech. Především v základní rovnici agregátního modelu zavedeme vedle vyvolané spotřeby a vyvolaných investic ještě autonomní výdaje. Ve strukturálním modelu rozdělíme konečnou spotřebu na investice a spotřebu (rozuměj osobní a společenskou). Konečně musíme zavést další vztah pro určení investic; je to vztah akcelerátoru, podle něhož se investice musí rovnat přírůstku národního důchodu (resp. celkové produkce) násobenému investičním koeficientem (resp. matici investičních koeficientů). Oba modely zde budeme vyjadřovat pomocí diferenciálních rovnic. Smysl použitých symbolů plyne přímo z textu. Je pouze nutno upozornit, že v agregátním modelu jsou všechny symboly čísla, kdežto ve strukturálním modelu jsou A a B matice a ostatní sloupcové vektory.

Agregátní model
 

Strukturální model

1) Základní rovnice:

Národní důchod (konečný produkt) je roven součtu spotřeby, investic a aoutonomnich vydaju

Y=C +I +A

1) Základní bilanční rovnice:

Celková produkce se rovná součtu meziproduktu, investic a spotreby.
 

X= M +I+C
 

2) Spotřební funkce:

Spotřeba je úměrná důchodu podle sklonu ke spotřebě

 
 

C = cY

2) Nákladová funkce:

Meziprodukt je úměrný celkové podukci a získáme jej vynásobením vektoru celkové produkce maticí technických koeficientů

M = AX
 

3) Investiční funkce

Investice se rovnají přírůstku národního důchodu násobenému investičním  koeficientem
 

I = b dY/dt
 

3) Investiční funkce:

Vektor investic se rovná vektoru přírůstků celkové produkce násobenému zleva maticí investičních koeficientů

I = B dX/dt

4) Diferenciální rovnice modelu
 

získaná dosazením vztahů 2 a 3 do vztahu 1.
 

Y -  cY  - b dY/dt  = A
 

4) Soustava diferenciálnich rovnic
 

získaná dosazením vztahů 2 a 3 do vztahu 1.
 

 X – AX – B dX/dt  = C
Opět můžeme pozorovat nápadnou analogii v matematickém popisu agregátního a strukturálního modelu. Zpětná vazba vyjádřená prvním a druhým vztahem zachycuje princip multiplikátoru, zpětná vazba vyjádřená prvým a třetím vztahem pak princip akcelerátoru. Ve strukturálním modelu jde však ve skutečnosti nikoliv o dvě zpětné vazby, ale o dva spletence zpětných vazeb. Výsledné diferenciální rovnice popisující chování modelů mají zcela analogický charakter. U agregátního modelu je to ovšem jedna lineární diferenciální rovnice prvého řádu, kdežto u strukturního modelu je to celá soustava lineárních diferenciálních rovnic prvého řádu.
O rozdílech mezi obsahem modelů platí totéž, co bylo řečeno již výše. Rešením agregátního modelu získáme růst národního důchodu (konečné produkce), kdežto u strukturálního modelu růst celkové produkce. Agregátní model nezachycuje multiplikaci poptávky po meziproduktech, strukturální model zase nezachycuje multiplikaci poptávky po spotřebních předmětech (rozumí se uvedený agregátní a uvedený strukturální model). Je zde také jistý rozdíl v koncepci investičních koeficientů, a to nejen v tom, že ve strukturálním modelu jsou rozděleny podle odvětví původu a určení, ale také v tom, že ve strukturálním modelu jsou investiční koeficienty chápány jako nutné množství investic na jednotkový přírůstek celkové (hrubé) výroby, kdežto v agregátním modelu vyjadřují nutné množství investic na jednotkový přírůstek národního důchodu.
Řešením diferenciálních rovnic obou modelů a dosazením počátečních podmínek za integrační konstanty získáme funkce vyjadřující růst národního důchodu, respektive celkové produkce jednotlivých odvětví v čase. Tvar řešení závisí na časovém průběhu autonomních výdajů u agregátního a spotřeby u strukturálního modelu. Přijmeme-li zjednodušující předpoklad, že autonomní výdaje a celková produkce jsou úměrné velikosti národního důchodu či celkové produkce, stanou se diferenciální rovnice homogenní. Takový předpoklad činí například Oskar Lange v citované knize. Budeme-li navíc předpokládat konstantnost koeficientů těchto rovnic, bude mít jejich řešení exponenciální charakter. To znamená, že pro agregátní model bude platit, že národní důchod roste stálým neustále stejným tempem růstu. Ve strukturálním modelu se budou také vyskytovat jisté dílčí křivky o stálém tempu růstu, v důsledku strukturální složitosti modelu však nastane vážené sčítání těchto dílčích křivek, takže pro celkovou produkci již nemusí platit konstantní neměnné tempo růstu. Jak uvidíme dále, může se zde objevit také cyklus.

Uveďme nyní vedle sebe, jak vypadá řešení diferenciálních rovnic obou modelů za výše uvedených předpokladů:

 

Agregátní model

Y(t)  =  Y0 ert
 

Strukturální model

Xi(t)  = Sj hj kij erjt  

Opět vidíme jistou formální analogii, ovšem řešení strukturálního modelu dává v důsledku větší složitosti mnohem širší škálu možných výsledků. V agregátním modelu je konstantní tempo růstu, které se za předpokladu nulových autonomních výdajů rovná sklonu k úsporám lomenému investičním (kapitálovým) koeficientem tj.  r  =   (1 – c)/b      Nebo vyjádřeno jinak je tempo růstu rovno míře akumulace násobené koeficientem efektivnosti investic. Ve strukturálním modelu dostáváme zvláštní růstovou křivku, pro každé z odvětví národního hospodářství. Každá z nich je při tom váženým součtem n exponenciál. Odvození koeficientů hj, kij a rj  je zde poněkud složitější než u agregátního modelu. Uveďme  alespoň, že koeficienty hj se odvozují z počátečních podmínek, kdežto koeficienty kij a rj závisí na technických a investičních koeficientech a na koeficientech vyjadřujících podíl spotřeby na celkové produkci. Výsledky strukturálního modelu ukazují především, že tempa růstu jednotlivých odvětví nemusejí být obecně stejná, a za druhé, že nemusí být ani stálá. Proměnlivost tempa růstu uvnitř odvětví plyne z toho, že v průběhu vývoje se váhy jednotlivých dílčích exponenciál mění. Je-li například mezi dílčími tempy růstu jedno nebo více rj  záporných, může produkce některých odvětví zpočátku klesat, po čase pak převáží vliv rostoucích dílčích exponenciál (je-li alespoň jedno rj  kladné) a produkce začne růst. Je také zjevné, že po dostatečně dlouhé době absolutně převáží vliv té dílčí exponenciály, která je spojena s největším r, ta pak určuje tzv. dominující trend, ke kterému se tempo růstu odvětví blíží. Jelikož ze vzorce je patrné, že dílčí tempa růstu rj jsou pro všechna odvětví stejná, znamená to, že všechna odvětví mají týž dominující trend. Ačkoliv obecně mohou být tempa růstu jednotlivých odvětví různá, budou se postupně stále více blížit k témuž jednotnému a stálému tempu růstu určenému dominujícím trendem. To vše ovšem platí za předpokladu konstantnosti technických a investičních koeficientů. Technický pokrok by tyto koeficienty měnil, a tím by vedl k dalším proměnám v tempech růstu jednotlivých odvětví a k příslušným změnám ve struktuře ekonomiky.
Leontief a zejména pak Oskar Lange si všímají ještě jedné vlastnosti řešení strukturálního modelu. Je totiž dobře možné, že ne všechna ri budou reálná čísla. Pak se ale mezi nimi objeví alespoň jedna dvojice čísel komplexně sdružených. Je známo, že v takovém případě se místo dvou dílčích exponenciál objeví v modelu jedna křivka sinusoidálního charakteru. Je-li více dvojic komplexně sdružených čísel, pak je více sinusoidálních křivek. Do dynamiky systému se tak dostává cyklus. Dynamické strukturální modely jsou tedy nejen teorií růstu, ale zároveň i cyklu. Přitom v závislosti na velikostech koeficientů rovnic mohou poskytnout různým způsobem spojené trendy a na ně naložené cykly. Zejména Oskar Lange věnuje pozornost možnosti existence několika vzájemné spojených cyklů o různé délce a uvádí tyto výsledky do souvislosti s teorií krátkých, středních a dlouhých cyklů v kapitalistickém hospodářství.
Uvedli jsme zde základní myšlenky strukturálních dynamických modelů leontiefovského typu. Poukázali jsme na jejich koncepční shodu s agregátními modely růstu typu Harroda-Domara, a na to, v čem jsou proti těmto modelům bohatší. Současné matematické vyvození růstového trendu a cyklu patří k přednostem struktu­rálních modelů. Nemohli jsme ovšem vyčerpat strukturální modely v celé jejich bohatosti. Ponechali jsme zcela stranou možnost zavedení časových zpoždění (zejména do investičního procesu), kterým věnuje pozornost Leontief, nebo problémům obnovy fixního kapitálu, kterým zase věnuje pozornost Lange.
Kromě strukturálních modelů leontiefovského typu existuje ještě mnoho dalších strukturálních modelů růstu, vycházejících z poněkud odlišných předpokladů a jiné konstrukce. Zmíníme se zde alespoň o modelu Johna von Neumanna a některých modelech na něj přímo navazujících. Tento model je z teoretického hlediska velmi zajímavý, pro praktické použití je však méně vhodný než modely leontiefovského typu. Pro nás může být jeho teoretická atraktivnost o to větší, že je založen na koncepcích a předpokladech v mnohém velmi příbuzných Marxově teorii reprodukce.

 

OK Economics was designed and it is maintained by Oldrich Kyn.
To send me a message, please use one of the following addresses:

okyn@bu.edu --- okyn@verizon.net

This website contains the following sections:

General  Economics:

http://econc10.bu.edu/GENEC/Default.htm

Economic Systems:  

http://econc10.bu.edu/economic_systems/economics_system_frame.htm

Money and Banking:

http://econc10.bu.edu/Ec341_money/ec341_frame.htm

Past students:

http://econc10.bu.edu/okyn/OKpers/okyn_pub_frame.htm

Czech Republic

http://econc10.bu.edu/Czech_rep/czech_rep.htm

Kyn’s Publications

http://econc10.bu.edu/okyn/OKpers/okyn_pub_frame.htm

 American education

http://econc10.bu.edu/DECAMEDU/Decline/decline.htm

free hit counters
Nutrisystem Diet Coupons