Publications  HET - History of Economic Thoughts
Významný matematik John von Neumann, je ekonomum dobře znám především jako zakladatel teorie her. Jeho poměrně krátká stat z roku 1937,8) v které podal matematický důkaz existence rovnovážné trajektorie růstu v jednom strukturálním ekonomic­kém modelu, dala podnět k rozvoji jedné ze zajímavých oblastí současné matematicko-ekonomické teorie, a to zejména tzv. „věty o dálnici” (Turnpike Theorem). Jak je zřejmé z data, je von Neumannova práce zároveň nejen jedním z prvních strukturálních matematických modelů růstu, ale patří k prvním matematickým modelům růstu vůbec.

Popíšeme nejprve v základních rysech původní von Neumannovu verzi modelu. Jelikož je tento model u nás znám daleko méně než model Leontiefův, zdržíme se poněkud déle při jeho formulaci.

Ve von Neumannově modelu je celková výroba rozdělena podobně jako v modelu Leontiefově na odvětví (či obory). Je zde však řada rozdílů. Především v leontiefovském modelu jsou řádky i sloupce tvořeny týmiž odvětvími, a proto leontiefovské matice jsou čtvercové (výrobek na výrobek, či odvětví na odvětví). Naproti tomu matice von Neumannova modelu obecně nemusí být čtvercové, protože vyjadřují v jednom směru dělení národního hospodářství na výrobky a v druhém na výrobní procesy. Jestliže je dále technologická stránka výrobního procesu v leontiefovském modelu v zásadě charakterizována jednou maticí maticí technických koeficientů, pak ve von Neumannově modelu musí být dvě matice, matice spotřebních koeficientů, vyjadřujících spotřebu i-tého výrobku na jednotkovou intenzitu j-tého výrobního procesu a matici produkčních koeficientů, vyjadřujících množství i-tých výrobků vyprodukovaných jednotkovou intenzitou j-tého výrobního procesu.

Tento způsob zavedení umožňuje zachytit v modelu tzv. společnou produkci. Čistý leontiefovský model totiž předpokládá, že každé odvětví vyrábí jeden druh výrobků; von Neumannův model však připouští, že týž výrobní proces může produkovat současně několik různých výrobků (ovšem v proporcích daných produkčními koeficienty).

Další charakteristikou von Neumannova modelu je to, že v něm neexistují primární nereprodukovatelné výrobní faktory. Operuje tedy pouze s reprodukovatelnými výrobky, které na jedné straně jsou výsledkem minulého výrobního procesu, na druhé straně jsou předpokladem budoucího výrobního procesu. Již zde vidíme jistou analogii s Marxovými schématy reprodukce. Tato analogie, jak uvidíme, pokračuje ještě dále. Vyloučení primárních výrobních faktorů znamená skutečně pominout přírodní zdroje, neznamená však, že by se vylučoval z úvah kapitál a pracovní síla. Jednotlivé složky kapitálu (chápány naturálně) se skládají z výrobků některých předcházejících výrobních procesů, jde tedy výslovně o reprodukovatelnou podmínku výroby. Pracovní síla je do modelu zaváděna jen prostřednictvím spotřeby výrobků, které dělníci nakupují za svou mzdu. Na jednotkovou intenzitu každého výrobního procesu je třeba vynaložit jisté množství pracovní síly. Aby tato pracovní síla mohla být k dispozici, musí dělníci spotřebovat jistá množství spotřebních předmětů. Lze tedy zavést určité „spotřební koeficienty”, které vyjadřují nutné množství i-tých výrobků spotřebovávaných dělníky zaměstnanými jednotkovou intenzitou j-tého výrobního procesu. Z toho je patrno, že von Neumann staví svůj model na předpokladu subsistenční úrovně mezd. Jinak řečeno, zavádí do modelu implicite mzdu (explicite v něm mzda vůbec není) určenou sumou cen spotřebních předmětů nezbytných k reprodukci pracovní síly.

Ve von Neumannově modelu jsou tedy dva typy spotřebních koeficientů: koeficienty výrobní spotřeby ukazující, jaké množství výrobků je nezbytné pro přímou výrobní spotřebu na jednotkovou intenzitu různých výrobních procesů a dále koeficienty dělnické spotřeby ukazující, jaké množství příslušných výrobků musí spotřebovat dělníci, aby bylo dosaženo jednotkové intenzity těchto výrobních procesů. Pro každý výrobní proces a výrobek můžeme tyto dva koeficienty sčítat, a tak dostaneme jednu matici spotřebních koeficientů, obsahující současně výrobní i dělnickou spotřebu. Budeme ji dále nazývat augmentovanou maticí spotřebních koeficientů, nebo prostě jen maticí spotřebních koeficientů.

Dalším zjednodušujícím předpokladem von Neumanna je, že kapitalisté nic nespotřebovávají na svou osobní spotřebu a celý svůj zisk investují na rozšíření výroby. Stručně řečeno, von Neumann fakticky rozděluje celý národní důchod na důchody dělníků a kapitalistů. Přitom dělníci nic nespoří a vše spotřebová­vají, kdežto kapitalisté nic nespotřebovávají a vše akumulují. Z toho je zřejmo, že ve von Neumannově modelu se celkový aku­mulační fond rovná sumě všech zisků, tedy řečeno marxistickou terminologií celkové nadhodnotě.

Dynamiku zavádí von Neumann do modelu tak, že čas rozděluje na určité základní časové intervaly, které představují „výrobní takty” reprodukčního procesu. Přitom vždy platí, že výrobky vyprodukované výrobními procesy v „předcházejícím taktu” slouží jako výrobní prostředky (tedy na nákladové straně) v následujícím taktu. Základní myšlenkou, z níž se vychází při určení tempa růstu, je to, že v žádném období nemůže být spotřebováno více výrobků, než bylo v předcházejícím období vyrobeno. A protože v modelu neexistuje žádná jiná než výrobní spotřeba, je v systému dynamická rovnováha právě tehdy, když je v každém období vyrobeno právě tolik výrobků, kolik se v následujícím období spotřebuje k výrobě. Pojem výrobní spotřeba v této souvislosti používáme v širším smyslu, tj. jako augmentovaná výrobní spotřeba, tzn. včetně nutné spotřeby dělníků a investiční spotřeby.

Všimněme si konečně, že model zavedený von Neumannem, včetně jeho předpokladu, že dělníci nespoří a kapitalisté nespotřebovávají, je v pravém slova smyslu uzavřeným modelem, který nemá žádný nezávislý výstup ani nezávislý vstup. Je v tomto směru do jisté míry analogický původnímu Leontiefovu uzavřenému modelu, je však uzavřen jiným způsobem a navíc je to model dynamický.

Se zaváděním času do von Neumannova modelu je však spojen určitý problém. Princip, že výrobky vyrobené v předcházejícím období se spotřebovávají na výrobu v následujícím období, by bylo možno bez problému uplatnit jen ve výrobním systému, v němž by výrobní doba všech výrobků byla stejně dlouhá. Výrobní doby však ve skutečnosti nejsou stejně dlouhé a navíc se objevuje problém fixního kapitálu, to jest výrobních prostředků sloužících dlouhodobě, které se opotřebovávají pouze postupně. Tento problém je možno obejít takto: jelikož von Neumannův model připouští společnou produkci několika výrobků v témže výrobním procesu, je možno chápat neopotřebenou část základních pro­středků, které zůstanou po ukončení reprodukčního taktu za „produkci” toho výrobního procesu, v němž jsou používány. V takovém případě je ve spotřebních koeficientech vyjádřeno, jakoby základní prostředky (fixní kapitál) byly v každém taktu spotřebovávány celé (a nejen amortizace), ale zároveň prostřednictvím produkčních koeficientů, jakoby byla jejich zůstatková část znovu vyprodukována a tak dodána jako výrobní prostředek pro následující časové období. Tento trik, jímž je ve von Neumannové modelu likvidován problém fixního kapitálu, amortizace a obnovy, je sice logicky elegantní, avšak ekonomicky je do značné míry problematický, a to zejména proto, že dále přijatý předpoklad konstantnosti koeficientů znemožňuje zkoumat vliv nerovnoměrnosti obnovy a morálního opotřebení na tempo růstu. Žádný model však nemůže zachytit plně všechny složité vztahy reprodukčního procesu a toto zjednodušení je vlastně zcela ekvivalentní analogickým předpokladům, které Marx zavádí do svých reprodukčních schémat (tj. že doba obratu fixního kapitálu se rovná právě délce reprodukčního taktu). Podobným způsobem je ve von Neumannově modelu řešen i problém nestejné délky výrobní doby. Tam, kde je výrobní doba delší než zvolená délka reprodukčního taktu, jsou za produkty výrobního procesu považovány i polotovary a rozpracované výrobky, které pochopitelně ihned v následujícím období vstupují zpět do výrobního procesu.

Nyní přistupme k formulaci základních vztahů von Neumannova modelu. Omezíme se ovšem jen na zjednodušený výklad a nebudeme von Neumanna ani jeho následovníky sledovat ve složitých matematických důkazech.

Budeme dále používat těchto označeni:

  • A je agumentovaná matice spotřebních koeficientů, tj. součet matice koeficientů přímé výrobní spotřeby a nutné dělnické spotřeby.

Poznamenejme na tomto místě, že matice A v důsledku specific­kého řešení problému spojených s fixním kapitálem a obnovou obsahuje vlastně také investiční koeficienty. Tedy i investice a rozšiřování výroby se uskutečňuje prostřednictvím této jediné matice.

  • B je matice produkčních koeficientů,

  • q je sloupcový vektor intenzit jednotlivých výrobních procesů,

  • p je řádkový vektor cen výrobků,

  • r je číslo vyjadřující tempo růstu,

  • m je jednotná míra zisku (von Neumann říká úroková míra).

  • Uvědomme si dále, že z tohoto zavedení plyne:

  • Bq je sloupcový vektor produkce jednotlivých druhů výrobků,

  • pBq je celkové cenové vyjádření hodnoty společenského produktu (ke kterému je však v důsledku uvedených předpokladů přičten celkový stav rozpracované výroby a zůstatková hodnota fixního kapitálu),

  • pA je řádkový vektor nákladů na jednotku intenzity výrobních procesů,

  • pAq jsou celkové náklady na celý společenský produkt (fakticky zvětšené o potřebný stav fixního a oběžného kapitálu).

Tak zvaná von Neumannova cesta je rovnovážná trajektorie růstu ekonomického systému, při níž se 1.. nemění ceny, 2. ve všech výrobních procesech je realizována průměrná míra zisku a 3. produkce všech výrobků roste stejným tempem (r)).

Ve svém článku von Neumann dokazuje, že v systému charakterizovaném maticemi A a B existuje von Neumannova cesta, při níž je tempo růstu rovno průměrné míře zisku (respektive úrokové míře), tj. r

Sledujme v hlavních rysech jeho úvahy. Při tom si uvědomme, že ceny se při rovnovážném růstu nemají měnit, proto u nich nemusíme psát index času. Rovněž o spotřebních a produkčních koeficientech se předpokládá, že jsou konstantní v čase.

Výchozí podmínkou rovnovážného růstu je, že v žádném období nemůže být spotřebováno více výrobků, než bylo v předcházejícím období vyrobeno. To lze formulovat takto:

                                             Aq(t + 1)  =<  Bq(t).                                     (1)

Jelikož však při rovnovážném růstu rostou všechny výrobní procesy stejným tempem r, musí platit:

                                             q(t + 1)  =  (1 + r) q(t),                         (2)

takže místo (1) můžeme prostě napsat

                                          (1 + r) Aq  =<  Bq.                                         (3)

Další podmínkou je, že ve stavu rovnováhy je každý výrobní proces využíván s dostatečně velkou intenzitou, aby nepřinášel nadprůměrný zisk. Z toho plyne, že rovnovážné ceny nesmí být větší než náklady zvýšené úměrně jednotné míře zisku (řečeno marxistickou terminologií, tržní ceny nesmí být vyšší než výrobní ceny), tedy

                                          (1 + m) pA  >=   pB.                                        (4)

Zde je třeba podotknout, že výrobní cena má ve von Neumannové modelu tak jednoduchý tvar (viz levá strana vztahu (4)), protože matice A vyjadřuje nejen přímou materiálovou spotřebu, ale implicite spotřebu práce a také přímou fondovou náročnost.

Další podmínku rovnováhy dostaneme, když (3) vynásobíme cenami. Za předpokladu, který von Neumann dále přijímá, že výrobky nenacházející odbyt na trhu mají nulové ceny, je možno dále nerovnost nahradit rovností. Musí tedy platit

                                          (1 + r) pAq   =   pBq.                                   (5)

Podobně vynásobíme-li (4) zprava vektorem intenzit výrobních procesů a přijmeme-li předpoklad, že výrobní procesy, které nepřinášejí alespoň průměrný zisk, nejsou využívány (mají nulovou intenzitu), můžeme psát

 

                                         (1 + m) pAq  =  pBq.                                      (6)

Ze srovnání (5) a (6) je zřejmé, že m = r, a tedy, že v rovnovážném stavu všechny složky ekonomického systému rostou stejným tempem růstu, které je rovno průměrné míře zisku.

Tento postup odvození tempa růstu je jiný než ve známých agregátních či strukturálních modelech růstu a mohlo by se zdát, že i kvantitativní určení velikosti tempa růstu je odlišné. Je to však omyl. Ukážeme, že velikost tempa růstu je zde určena v plném souladu s kvantitativním určením tempa růstu v modelech typu Harroda-Domara a podobných. Musíme si totiž uvědomit, že podle von Neumannova předpokladu dělníci nespoří a kapitalisté nespotřebovávají. V takovém případě celkový zisk (suma nadhod­noty) se zároveň rovná akumulačnímu fondu. Míru zisku pak můžeme rozložit na součin dvou veličin, podílu nadhodnoty na národním důchodu a poměru národního důchodu ke kapitálu

                                                        M/(C + V)  =  (M/D) [D/(C +V)]

což v tomto případě lze zároveň interpretovat jako součin míry akumulace a koeficientu efektivnosti kapitálu.

Vlastní von Neumannův matematický důkaz existence rovnovážně trajektorie růstu v jeho modelu je dosti složitý. Na tomto místě se omezíme pouze na ekonomickou interpretaci dosaženého výsledku, jehož správnost se dá intuitivně snadno pochopit.

Všimněme si, že ve von Neumannově modelu jsou pevně zadány jen dvě věci — matice spotřebních koeficientů A a matice produkč­ních koeficientů B. Všechny ostatní veličiny jsou odvozeny od těchto matic. K dané soustavě spotřebních a produkčních koeficientů může existovat mnoho různých soustav cen a mnoho různých soustav výrobních objemů. Mezi všemi možnými cenovými soustavami však existuje jedna taková, která zajišťuje, že při všech výrobních procesech (ve všech odvětvích) se dosahuje právě průměrného zisku. Pokud není dodána žádná dodatečná podmínka, která by jednoznačně určovala hladinu cen, jsou modelem jednoznačeně určeny jen cenové relace. Na druhé straně mezi všemi možnými výrobními strukturami (danými. vektorem q) existuje jedna taková výrobní struktura, při které je nadprodukt (rozumí se naturálně pojatý) vyráběn právě v takových proporcích, že umožňuje, aby výroba všech výrobků rostla stejným tempem. I u výrobní struktury jsou modelem jednoznačně určeny jen poměry, tj. proporce. K určení úrovně výroby by bylo nutno přidat nějakou dodatečnou podmínku.

Tyto dosud nezávisle na sobě určené rovnovážné soustavy cenových relací a výrobních proporcí mají ještě další vlastnosti. Nemění-li se spotřební a produkční koeficienty, pak se během času také nemění cenové relace ani velikost průměrné míry zisku. Při konstantnosti spotřebních a produkčních koeficientů se zároveň s průběhem času nemění rovnovážné výrobní proporce a tempo růstu. Tedy vyvíjí-li se ekonomický systém po von Neumannově cestě, roste výroba ve všech odvětvích týmž a neustále stejným tempem růstu.

O rovnovážných cenových relacích a výrobních proporcích je možno uvažovat nezávisle na sobě. Avšak von Neumannova dynamická rovnováha je charakterizována současnou existencí a vzájemnou korespondencí rovnovážných cenových relací a výrobních proporcí. Za těchto okolností si totiž vzájemně korespondují hodnotová (respektive finanční) a naturální stránka reprodukčního procesu. Tato skutečnost ukazuje, že von Neumannovská dynamická rovnováha není jen výrobní rovnováhou systému, ale zároveň tržní rovnováhou. Jinak řečeno, ceny každého výrobku jsou právě tak velké, aby stačily krýt všechny nutné výdaje na prostou i rozšířenou reprodukci. A to je závěr mnohem zajímavější a významnější než pouhé konstatování skutečnosti, že tempo růstu je rovno průměrné míře zisku. Je to zajímavý příspěvek k teorii výrobní ceny. Ukazuje totiž, že soustava výrobních cen zajišťuje při rovnovážném růstu výroby, aby každé odvětví realizovalo právě dostatek akumulačních prostředků k finančnímu hrazení potřebných investic na rozšíření výroby podle rovnovážné trajektorie růstu. Je-li ekonomický systém na von Neumannově cestě, nemusí v něm docházet k redistribuci akumulačního fondu mezi odvětvími. Tedy ve von Neumannově modelu je zároveň obsaženo splnění podmínek realizace známých z Marxových schémat reprodukce.

Konečně nám zůstává ještě jeden velmi významný poznatek z von Neumannova modelu. Je snadno pochopitelné, že při daných maticích A a B se může velikost průměrné míry zisku m a tempa růstu r měnit, budou-li se měnit cenové relace a výrobní proporce. To je totiž ihned patrné, upravíme-li vztahy (4) a (5) takto:

                                          m  =  r   =   [(pBq)/(pAq)] – 1

Lze tedy velikost tempa růstu a míry zisku považovat za funkci cenových relací a výrobních proporcí. Z von Neumannova modelu plyne, že m a r dosahují své maximálně možné hodnoty (pro dané matice A a B), jsou-li současně výrobní proporce i cenové relace rovnovážné ve výše definovaném smyslu. Jinak řečeno, je-li ekonomický systém na von Neumannově cestě, tj. roste-li výroba ve všech odvětvích stejným a neměnícím se tempem růstu (za předpokladu ovšem, že ve výchozím období byla ve stavu rovnováhy) a jsou-li cenové relace „určeny podle formule výrobní ceny”, pak je dosahované tempo růstu největší ze všech možných temp růstu, jichž může daný systém dosáhnout a zároveň se dosahuje maximální možné míry zisku. Skutečnost, že při vývoji systému podél jiné než von Neumannovy trajektorie nemůže být dosaženo vyššího tempa růstu, ani vyšší průměrné míry zisku, ale spíše nižších, plyne z celkem intuitivně zřejmého faktu, že v takovém případě není dostatečně vybilancována výroba a spotřeba, takže se vyrábějí některé výrobky, které nemohou být realizovány. Nerealizovaná produkce „ujídá” ovšem pouze z nadproduktu, a tím snižuje jak akumulační zdroje, tak objem zisku.

Při odvozování von Neumannovy cesty, tj. rovnovážných cen a výrobních proporcí, které odpovídají daným spotřebním a produkčním koeficientům, se nijak nebral ohled na počáteční podmínky, v kterých se hospodářství nachází. Jinak řečeno, důkaz existence von Neumannovy cesty ještě neznamená, že z každého výchozího bodu je možno pokračovat přímo po ní. Ekonomický systém buď na ní musí ve výchozím okamžiku již ležet, nebo se musí na ni nejprve dostat, chce-li po ní pokračovat dále. K této otázce se ještě vrátíme v souvislosti s tzv. větou o dálnici (Turnpike theorem). Nejprve se však ještě zastavíme u jednoho rozvinutí von Neumannova modelu, které provedl známý japonský ekonom Michio Morishima) a které nazval modelem rozšířené kapitalistické reprodukce Marxe  von Neumanna.

 

 

OK Economics was designed and it is maintained by Oldrich Kyn.
To send me a message, please use one of the following addresses:

okyn@bu.edu --- okyn@verizon.net

This website contains the following sections:

General  Economics:

http://econc10.bu.edu/GENEC/Default.htm

Economic Systems:  

http://econc10.bu.edu/economic_systems/economics_system_frame.htm

Money and Banking:

http://econc10.bu.edu/Ec341_money/ec341_frame.htm

Past students:

http://econc10.bu.edu/okyn/OKpers/okyn_pub_frame.htm

Czech Republic

http://econc10.bu.edu/Czech_rep/czech_rep.htm

Kyn’s Publications

http://econc10.bu.edu/okyn/OKpers/okyn_pub_frame.htm

 American education

http://econc10.bu.edu/DECAMEDU/Decline/decline.htm

free hit counters
Nutrisystem Diet Coupons